Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 73222 988064 987860 2026-11-03T12:56:32Z DMacks 10937 oops, wrong structure 988064 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = chimie | niveau = 12 | numéro = 2 | titre = Les isomères Z/E | précédent = [[../La formule de Lewis et la géométrie des molécules/]] | suivant = [[../La vision, une isomérisation photochimique/]] }} <ol> <li> Déterminer si les molécules suivantes sont des isomères Z ou E. <ol type="a"> <li> [[File:(Z)-pent-2-ène.svg|300px]] </li> <li> [[File:(E)-1-Bromo-2-chloroethene-2D-flat.svg|200px]] </li> <li> [[File:(E)-pent-2-ène.svg|300px]] </li> <li> [[File:2,4-Hexadiene.jpg|300px]] </li> </ol> </li> <li> Parmi les molécules suivantes, préciser celles qui présentent une isomérie Z/E. <ol type="a"> <li> H₃C-CH=CH-CH₃ </li> <li> H₃C-CH=CH₂ </li> <li> H₃C-CH₂-CH=CH-CH₃ </li> <li> H₃C-CH=CH-Cl </li> </ol> </li> <li> Nous sommes les molécules de plus petite masse molaire présentant les caractéristiques suivantes : * nous ne contenons que les éléments carbone et hydrogène ; * nos atomes de carbone s'associent en une seule chaine linéaire, et nous ne possédons que deux liaisons doubles ; * nos doubles liaisons C=C sont conjuguées ; * une seule de nos liaisons doubles présente une isomérie Z/E. Écrire les formules développées de ces molécules. </li> </ol> {{solution|contenu= <ol> <li> <ol type="a"> <li> La molécule contient une double liaison carbone-carbone et possède ces deux groupes les plus importants du même côté par rapport à l’axe de cette double liaison. Elle est donc un stéréoisomère Z. </li> <li> La molécule contient une double liaison carbone-carbone et possède ces deux groupes les plus importants d'un côté et de l'autre par rapport à l’axe de cette double liaison. Elle est donc un stéréoisomère E. </li> <li> La molécule contient une double liaison carbone-carbone et possède ces deux groupes les plus importants d'un côté et de l'autre par rapport à l’axe de cette double liaison. Elle est donc un stéréoisomère E. </li> <li> On énumere les doubles liaisons de carbone-carbone de la molécule de gauche à droite. La 1^ere liaison a ses deux groupes les plus importants sont du même côté par rapport à son axe. Elle est donc un stéréoisomère Z. La 2^e liaison possède en revanche ses deux groupes les plus importants sont d'un côté et de l'autre par rapport à son axe. Elle est donc un stéréoisomère E. </li> </ol> </li> <li> <ol type="a"> <li> Chaque atome de carbone de la double liaison carbone-carbone porte un atome d'hydrogène et un groupement d'atomes. La molécule est donc une stéréoisomère Z/E. </li> <li> Un atome de carbone de la double liaison carbone-carbone ne porte pas un groupement d'atomes. La molécule n'est donc pas une stéréoisomère Z/E. </li> <li> Chaque atome de carbone de la double liaison carbone-carbone porte un atome d'hydrogène et un groupement d'atomes. La molécule est donc une stéréoisomère Z/E. </li> <li> Chaque atome de carbone de la double liaison carbone-carbone porte un atome d'hydrogène et un groupement d'atomes. La molécule est donc une stéréoisomère Z/E. </li> </ol> </li> <li> </li> </ol>}} 4n7dcf6cl0j5jhs5mql30d2034ze4el 0 74760 988057 988043 2026-11-03T12:37:04Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988057 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} iteiutoozkmzomn4i2q5dvk4s7xqjpv 988058 988057 2026-11-03T12:40:39Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988058 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} c29s7ftnjodpj9rnupttrcdy193fj0k 988059 988058 2026-11-03T12:42:53Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988059 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} e0rvx8lleyf35m2dzy2ejlyncs0p0wb 988060 988059 2026-11-03T12:47:03Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988060 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 3hwmpbd3wux309zhxyvc93tgw10k4f5 988061 988060 2026-11-03T12:48:32Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988061 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 5d8q73zlyo04nxngmqhgarp5gnawzd0 988062 988061 2026-11-03T12:50:45Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988062 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} j8qauw19iutit64fjl22t4d2a0mjs1j 988063 988062 2026-11-03T12:52:21Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988063 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" /> <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} outifcevam9cswdi7ymfnqyrj3kdk8q 988067 988063 2026-11-03T14:54:25Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988067 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} anfimzi24y8s2iiogsdmshs86ki54ia 988068 988067 2026-11-03T14:57:40Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988068 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} cpklcuvfowzbdlaaj07bc0umedoldl2 988069 988068 2026-11-03T15:08:37Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988069 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} fyoqypyvy04lua3vodhg7ea21m5bnwy 988070 988069 2026-11-03T17:19:21Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988070 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} dk1l5fxyknmopdr6cd2yjbdk5do1icb 988073 988070 2026-11-03T23:10:58Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988073 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} jugdf6bqzz7wnrd35c7v8td6xwmgwcs 988074 988073 2026-11-03T23:14:39Z Phl7605 31541 /* Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » */ 988074 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} qq98zzj3goid1s6kpullp86i4gqignc 988075 988074 2026-11-04T02:56:15Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988075 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} sc6k6c2b46tmikmn5cmz0vzyg2z4vyj 988076 988075 2026-11-04T03:38:24Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988076 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} e9ucmxkzvuxcumgbxh50zd0emg5x7h6 988077 988076 2026-11-04T09:38:45Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système */ 988077 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 3kw1bf8s31esobs6ovg0k0anhksq8v4 988078 988077 2026-11-04T09:39:26Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système */ 988078 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} qyr64ynvaxuvru5yykwxpr5pewln2bp 988079 988078 2026-11-04T09:47:11Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen */ 988079 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quleconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} t93jhr547nwu5ffouxm54eheaafqckx 988080 988079 2026-11-04T09:55:29Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988080 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quleconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 02ctabuszp668tubipj9kaqcf7ind4s 988081 988080 2026-11-04T10:28:33Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988081 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quleconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|110}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} sphdohr6a5f276k1tlpf5vb8ksafpda 988082 988081 2026-11-04T10:29:47Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988082 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quleconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} hnpovb8jdxos3tf7qn879jv5v0va5bo 988083 988082 2026-11-04T10:30:53Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988083 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quleconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas très particulier non considéré<math>\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} m6ijfaar1xlc1zvtlciqow1dknhlkjr 988084 988083 2026-11-04T10:32:54Z Phl7605 31541 /* Cas particulier d’un système déformable */ 988084 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quleconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br>«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." />, on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée <ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules <ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>» <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br>la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br>les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} ljfwkq0szf7y96zoozf3ouzkb5ggozq 4 87384 988065 987997 2026-11-03T14:23:21Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-45 */ nouvelle section 988065 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|11}}{{Clr}}</noinclude> == Impacts environnementaux de l'exploitation aurifère dans la rivière Sangya , secteur Tanganyika , Territoire de Fizi , Sud-Kivu , République Démocratique du Congo == veuillez me proposez un plan de travail de mémoire de master en environnement et développement durable , option gestion des ressources naturelles [[Spécial:Contributions/~2026-58311-69|~2026-58311-69]] ([[Discussion utilisateur:~2026-58311-69|discussion]]) 2 novembre 2026 à 08:33 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-45 == <section begin="technews-2026-W45"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * De nombreux outils Wikimédia ont été mis hors ligne la semaine dernière en raison d'une [[:w:fr:PHP2Shell|faille de sécurité dans PHP]]. Cela a affecté de nombreux sites web à travers le monde. [[m:Special:MyLanguage/Toolforge|Toolforge]] et [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Cloud Services|Cloud VPS]] sont de nouveau opérationnels depuis le 22 octobre. De nombreux outils importants ont été progressivement rétablis. Certains outils doivent être redémarrés par leurs responsables bénévoles respectifs. D'autres doivent encore être mis à jour vers une version corrigée de PHP. Certains outils utilisaient d'anciennes versions de PHP qui ne sont pas prises en charge par les derniers correctifs de sécurité. Leurs responsables devront donc les mettre à jour vers une version plus récente. Cela pourrait nécessiter un effort supplémentaire. Vous pouvez suivre l'avancement des travaux [[:wikitech:Talk:Incidents/2026-10-21 PHP security update/Community#Exceptions|sur Wikitech]]. '''Actualités pour la contribution''' * Une nouvelle expérience de recherche optionnelle est en cours dans les applications Wikipédia pour Android et iOS, pour les versions en arabe, en français et en japonais de Wikipédia. Les lecteurs qui y participent peuvent effectuer des recherches au sein des articles et ouvrir les passages cités directement dans leurs articles sources ; aucune réponse ni aucun résumé n'est généré. Il s'agit de la première des quatre expériences de la [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|phase 2 de la recherche sémantique]]. Elle a débuté le 22 octobre 2026 et durera 20 jours. Vos commentaires sont les bienvenus sur la [[mw:Special:MyLanguage/Talk:Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|page de discussion]] du projet. * L'équipe [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences|Future Audiences]] prévoit d'intégrer les [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences/Share_card|Share Cards]] à Wikipédia sur mobile. Cette fonctionnalité permet aux utilisateurs de partager avec leurs amis une fiche visuellement attrayante, basée sur l'article qu'ils sont en train de lire. La fiche contient le titre de l'article, une image, le début du texte et les mentions de source associées, ainsi qu'un lien vers l'article complet. Les contributeurs sont invités à tester cette fonctionnalité en ajoutant <code dir="ltr">?useformat=mobile&sharecard=1</code> à l'URL de n'importe quel article entre le 29 octobre et le 8 novembre. N'hésitez pas à partager vos impressions sur la [[m:Talk:Future_Audiences/Share_card|page de discussion du projet]] et à signaler tout bug sur [[phab:T439161|Phabricator]]. * Le moteur de rendu par défaut des formules mathématiques changera le 2 novembre. À partir de cette date, le serveur enverra les formules au format MathML, et votre navigateur utilisera MathJax pour les afficher. Il s'agit de la dernière étape du processus de dépréciation de Mathoid/RESTBase, pour des raisons de pérennité et de sécurité. Vous pouvez [[w:en:Wikipedia:WikiProject Mathematics/MathFormattingBugs|poser des questions ou signaler des problèmes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T375238] * Vous avez une idée de nouvelle fonctionnalité, ou un bogue qui devrait être résolu ? [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist|Soumettez votre souhait pour les Souhaits communautaires pour le 8 novembre !]] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.3|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W45"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 novembre 2026 à 14:23 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31236748 --> t8qmp6xl983gob5kf4tli7kvl2fjmj2 988066 988065 2026-11-03T14:24:50Z ~2026-58462-32 81301 988066 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|11}}{{Clr}}</noinclude> == Impacts environnementaux de l'exploitation aurifère dans la rivière Sangya , secteur Tanganyika , Territoire de Fizi , Sud-Kivu , République Démocratique du Congo == veuillez me proposez un plan de travail de mémoire de master en environnement et développement durable , option gestion des ressources naturelles [[Spécial:Contributions/~2026-58311-69|~2026-58311-69]] ([[Discussion utilisateur:~2026-58311-69|discussion]]) 2 novembre 2026 à 08:33 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-45 == <section begin="technews-2026-W45"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * De nombreux outils Wikimédia ont été mis hors ligne la semaine dernière en raison d'une [[:w:fr:PHP2Shell|faille de sécurité dans PHP]]. Cela a affecté de nombreux sites web à travers le monde. [[m:Special:MyLanguage/Toolforge|Toolforge]] et [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Cloud Services|Cloud VPS]] sont de nouveau opérationnels depuis le 22 octobre. De nombreux outils importants ont été progressivement rétablis. Certains outils doivent être redémarrés par leurs responsables bénévoles respectifs. D'autres doivent encore être mis à jour vers une version corrigée de PHP. Certains outils utilisaient d'anciennes versions de PHP qui ne sont pas prises en charge par les derniers correctifs de sécurité. Leurs responsables devront donc les mettre à jour vers une version plus récente. Cela pourrait nécessiter un effort supplémentaire. Vous pouvez suivre l'avancement des travaux [[:wikitech:Talk:Incidents/2026-10-21 PHP security update/Community#Exceptions|sur Wikitech]]. '''Actualités pour la contribution''' * Une nouvelle expérience de recherche optionnelle est en cours dans les applications Wikipédia pour Android et iOS, pour les versions en arabe, en français et en japonais de Wikipédia. Les lecteurs qui y participent peuvent effectuer des recherches au sein des articles et ouvrir les passages cités directement dans leurs articles sources ; aucune réponse ni aucun résumé n'est généré. Il s'agit de la première des quatre expériences de la [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|phase 2 de la recherche sémantique]]. Elle a débuté le 22 octobre 2026 et durera 20 jours. Vos commentaires sont les bienvenus sur la [[mw:Special:MyLanguage/Talk:Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|page de discussion]] du projet. * L'équipe [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences|Future Audiences]] prévoit d'intégrer les [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences/Share_card|Share Cards]] à Wikipédia sur mobile. Cette fonctionnalité permet aux utilisateurs de partager avec leurs amis une fiche visuellement attrayante, basée sur l'article qu'ils sont en train de lire. La fiche contient le titre de l'article, une image, le début du texte et les mentions de source associées, ainsi qu'un lien vers l'article complet. Les contributeurs sont invités à tester cette fonctionnalité en ajoutant <code dir="ltr">?useformat=mobile&sharecard=1</code> à l'URL de n'importe quel article entre le 29 octobre et le 8 novembre. N'hésitez pas à partager vos impressions sur la [[m:Talk:Future_Audiences/Share_card|page de discussion du projet]] et à signaler tout bug sur [[phab:T439161|Phabricator]]. * Le moteur de rendu par défaut des formules mathématiques changera le 2 novembre. À partir de cette date, le serveur enverra les formules au format MathML, et votre navigateur utilisera MathJax pour les afficher. Il s'agit de la dernière étape du processus de dépréciation de Mathoid/RESTBase, pour des raisons de pérennité et de sécurité. Vous pouvez [[w:en:Wikipedia:WikiProject Mathematics/MathFormattingBugs|poser des questions ou signaler des problèmes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T375238] * Vous avez une idée de nouvelle fonctionnalité, ou un bogue qui devrait être résolu ? [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist|Soumettez votre souhait pour les Souhaits communautaires pour le 8 novembre !]] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.3|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W45"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 novembre 2026 à 14:23 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31236748 --> JE SUI [[Spécial:Contributions/~2026-58462-32|~2026-58462-32]] ([[Discussion utilisateur:~2026-58462-32|discussion]]) 3 novembre 2026 à 14:24 (UTC) opthpbyl5akdjn5l890ds3p94ang87z 988071 988066 2026-11-03T21:00:47Z Crochet.david 317 Révocation d’une modification de [[Special:Contributions/~2026-58462-32|~2026-58462-32]] ([[User talk:~2026-58462-32|discussion]]) vers la dernière version de [[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 988065 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|11}}{{Clr}}</noinclude> == Impacts environnementaux de l'exploitation aurifère dans la rivière Sangya , secteur Tanganyika , Territoire de Fizi , Sud-Kivu , République Démocratique du Congo == veuillez me proposez un plan de travail de mémoire de master en environnement et développement durable , option gestion des ressources naturelles [[Spécial:Contributions/~2026-58311-69|~2026-58311-69]] ([[Discussion utilisateur:~2026-58311-69|discussion]]) 2 novembre 2026 à 08:33 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-45 == <section begin="technews-2026-W45"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * De nombreux outils Wikimédia ont été mis hors ligne la semaine dernière en raison d'une [[:w:fr:PHP2Shell|faille de sécurité dans PHP]]. Cela a affecté de nombreux sites web à travers le monde. [[m:Special:MyLanguage/Toolforge|Toolforge]] et [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Cloud Services|Cloud VPS]] sont de nouveau opérationnels depuis le 22 octobre. De nombreux outils importants ont été progressivement rétablis. Certains outils doivent être redémarrés par leurs responsables bénévoles respectifs. D'autres doivent encore être mis à jour vers une version corrigée de PHP. Certains outils utilisaient d'anciennes versions de PHP qui ne sont pas prises en charge par les derniers correctifs de sécurité. Leurs responsables devront donc les mettre à jour vers une version plus récente. Cela pourrait nécessiter un effort supplémentaire. Vous pouvez suivre l'avancement des travaux [[:wikitech:Talk:Incidents/2026-10-21 PHP security update/Community#Exceptions|sur Wikitech]]. '''Actualités pour la contribution''' * Une nouvelle expérience de recherche optionnelle est en cours dans les applications Wikipédia pour Android et iOS, pour les versions en arabe, en français et en japonais de Wikipédia. Les lecteurs qui y participent peuvent effectuer des recherches au sein des articles et ouvrir les passages cités directement dans leurs articles sources ; aucune réponse ni aucun résumé n'est généré. Il s'agit de la première des quatre expériences de la [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|phase 2 de la recherche sémantique]]. Elle a débuté le 22 octobre 2026 et durera 20 jours. Vos commentaires sont les bienvenus sur la [[mw:Special:MyLanguage/Talk:Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|page de discussion]] du projet. * L'équipe [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences|Future Audiences]] prévoit d'intégrer les [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences/Share_card|Share Cards]] à Wikipédia sur mobile. Cette fonctionnalité permet aux utilisateurs de partager avec leurs amis une fiche visuellement attrayante, basée sur l'article qu'ils sont en train de lire. La fiche contient le titre de l'article, une image, le début du texte et les mentions de source associées, ainsi qu'un lien vers l'article complet. Les contributeurs sont invités à tester cette fonctionnalité en ajoutant <code dir="ltr">?useformat=mobile&sharecard=1</code> à l'URL de n'importe quel article entre le 29 octobre et le 8 novembre. N'hésitez pas à partager vos impressions sur la [[m:Talk:Future_Audiences/Share_card|page de discussion du projet]] et à signaler tout bug sur [[phab:T439161|Phabricator]]. * Le moteur de rendu par défaut des formules mathématiques changera le 2 novembre. À partir de cette date, le serveur enverra les formules au format MathML, et votre navigateur utilisera MathJax pour les afficher. Il s'agit de la dernière étape du processus de dépréciation de Mathoid/RESTBase, pour des raisons de pérennité et de sécurité. Vous pouvez [[w:en:Wikipedia:WikiProject Mathematics/MathFormattingBugs|poser des questions ou signaler des problèmes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T375238] * Vous avez une idée de nouvelle fonctionnalité, ou un bogue qui devrait être résolu ? [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist|Soumettez votre souhait pour les Souhaits communautaires pour le 8 novembre !]] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.3|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W45"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 novembre 2026 à 14:23 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31236748 --> t8qmp6xl983gob5kf4tli7kvl2fjmj2 0 87401 988072 987564 2026-11-03T22:50:52Z Frafugaro 81224 988072 wikitext text/x-wiki {{leçon du jour}} == Introduction et Principes Physiques de Base == La formation de l'image en Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) repose sur l'interaction entre les moments magnétiques des noyaux atomiques d'hydrogène (¹H) présents dans les tissus biologiques et un champ magnétique statique principal (B₀). En conditions d'équilibre thermique, les vecteurs de aimantation nucléaire s'alignent parallèlement ou antiparallèlement au champ B₀, générant un vecteur d'aimantation macroscopique longitudinale (M_z). L'application d'une impulsion radiofréquence (RF) à la fréquence de résonance de Larmor (&omega;₀ = &gamma; B₀) bascule le vecteur M_z dans le plan transversal (M_xy). Après l'interruption de l'impulsion RF, le système revient à son état d'équilibre à travers deux processus physiques distincts de relaxation : - '''Relaxation Longitudinale (T1) :''' également appelée relaxation spin-réseau, elle décrit la récupération de l'aimantation le long de l'axe z. - '''Relaxation Transversale (T2) :''' également appelée relaxation spin-spin, elle décrit la décroissance de l'aimantation dans le plan transversal due au déphasage des composantes des moments magnétiques. - '''Relaxation Transversale Effective (T2*) :''' elle inclut à la fois les interactions spin-spin intrinsèques et les inhomogénéités macroscopiques et de susceptibilité magnétique du champ B₀. == Paramètres d'Acquisition et Contrôle du Constraste == L'opérateur et le Manipulateur en Électroradiologie Médicale (MEMR / TSRM) agissent sur des paramètres de séquence spécifiques pour moduler le contraste entre des tissus présentant des temps de relaxation et une densité protonique (DP) différents : === Temps de Répétition (TR) === Le Temps de Répétition représente l'intervalle de temps entre deux impulsions RF d'excitation consécutives appliquées à la même coupe. - Un '''TR court''' (< 800 ms en Spin Écho) ne permet pas la récupération complète de l'aimantation longitudinale des tissus à T1 long (ex. liquide cérébrospinal), accentuant les différences de T1 entre les tissus (Pondération T1). - Un '''TR long''' (> 2000 ms) permet une récupération presque complète de l'aimantation longitudinale de tous les tissus, annulant l'effet T1 (nécessaire pour les Pondérations T2 et Densité Protonique). === Temps d'Écho (TE) === Le Temps d'Écho définit l'intervalle entre l'impulsion RF d'excitation et la mesure du signal induit dans la antenne réceptrice. - Un '''TE court''' (< 20 ms) minimise la décroissance de l'aimantation transversale, réduisant l'effet T2. - Un '''TE long''' (> 80 ms) permet un déphasage marqué des spins, différenciant nettement les tissus à T2 court de ceux à T2 long (Pondération T2). === Angle de Bascule (Flip Angle - &alpha;) === Dans les séquences Écho de Gradient (GRE), l'utilisation d'angles de bascule inférieurs à 90° permet de maintenir une fraction d'aimantation longitudinale résiduelle, autorisant l'emploi de TR très courts sans saturation complète du signal (Angle d'Ernst). === Matrice, Épaisseur de Coupe et Voxel === La résolution spatiale et la qualité du signal dépendent du volume du voxel (V), défini par : <math>V = \frac{\text{FOV}_x}{N_x} \times \frac{\text{FOV}_y}{N_y} \times \text{Épaisseur de coupe}</math> où FOV représente le champ de vue (Field of View), tandis que N_x et N_y indiquent respectivement le nombre de points et d'étapes de la matrice le long des axes de codage en fréquence et en phase. == Évaluation Quantitative de la Qualité de l'Image == === Rapport Signal sur Bruit (SNR) === Le Rapport Signal sur Bruit est le paramètre fondamental quantifiant la fidélité de l'image. Le signal S augmente proportionnellement au volume du voxel et à la racine carrée du temps total d'acquisition : <math>\text{SNR} \propto V \cdot \sqrt{\frac{N_y \cdot N_{\text{avg}}}{\text{BW}_{\text{px}}}}</math> où N_avg représente le nombre de moyennes (NEX/NSA) et BW_px indique la bande passante de réception par pixel. === Rapport Contraste sur Bruit (CNR) === Le Rapport Contraste sur Bruit décrit la capacité de l'image à distinguer deux structures adjacentes (A et B) : <math>\text{CNR} = \frac{|S_A - S_B|}{\sigma_{\text{bruit}}}</math> où S_A et S_B représentent l'intensité de signal des deux tissus et &sigma;_bruit l'écart-type du bruit de fond. == Laboratoire Virtuel et Exercices Interactifs == Pour comprendre de manière opérationnelle l'interaction complexe et non linéaire entre les paramètres physiques, géométriques et d'échantillonnage en IRM, on a recours à l'analyse simulée par des modèles analytiques des équations de Bloch. === Outils de Simulation === - '''[https://simrmportal.vercel.app/ SIMRM Portal]''' <ref>Fugaro, F. (2026). ''SIMRM : Simulateur de Séquences de Résonance Magnétique''. [https://simrmportal.vercel.app/ https://simrmportal.vercel.app/]</ref><ref>Fugaro, F. (2026). ''SIMRM: 2D and 3D Magnetic Resonance Imaging Sequence Simulator for Interactive Education and Learning'' (Version 1.0). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.23599806</ref> : simulateur interactif basé sur le web conçu comme support pédagogique pour l'exploration et l'optimisation des paramètres de séquence. L'accès à la plateforme est entièrement gratuit pour les étudiants et les professionnels du secteur après inscription. ==== Domaine d'Application et Fonctionnalités ==== Le simulateur permet de modéliser numériquement l'impact des variations techniques (TR, TE, TI, Flip Angle, matrice, FOV, épaisseur de coupe, moyennes et bande passante) sur les séquences 2D et 3D. Parmi les principales fonctionnalités pédagogiques : - '''Simulation du Contraste en Temps Réel :''' Rendu visuel immédiat des variations de pondération (T1, T2, DP) sur des cartes anatomiques synthétiques lors de la modification des paramètres. - '''Estimation Quantitative des Indicateurs :''' Calcul analytique instantané du Rapport Signal sur Bruit (SNR estimé), du Temps d'Acquisition (TA), de la résolution spatiale, de l'echo spacing et du dépôt d'énergie (DAS / SAR). - '''Modélisation des Contraintes Technologiques :''' Évaluation de l'impact de la bande passante par pixel, du facteur ETL et des facteurs d'accélération sur l'échantillonnage et la géométrie du voxel. ==== Limites Opérationnelles et Avertissement ==== Le simulateur est strictement destiné à des fins pédagogiques, d'étude et de recherche théorique. Le logiciel fonctionne sur des modèles analytiques idéaux et ne réplique pas le matériel réel, les imperfections du champ magnétique ou les artefacts complexes de la machine. Les données produites (y compris le SAR, le SNR estimé et le TA) sont des simulations algorithmiques et ne doivent en aucun cas être utilisées pour la planification clinique ou diagnostic sur des patients réels. == Notes Pédagogiques et Exercices Guidés == 1. '''Analyse T1 vs T2 :''' Régler une séquence Spin Écho avec TR = 500 ms et TE = 10 ms pour évaluer l'hyperintensité du tissu adipeux par rapport à l'eau. Augmenter ensuite le TE à 100 ms et le TR à 3000 ms pour observer l'inversion de contraste du liquide cérébrospinal (LCS). 2. '''Optimisation du SNR :''' Analyser l'effet de la réduction de moitié de la bande passante par pixel (BW_px) sur le niveau de bruit et sur l'apparition d'artefacts de déplacement chimique (Chemical Shift). == Notes == <references /> [[Catégorie:Médecine]] [[Catégorie:Physique médicale]] [[Catégorie:Imagerie par résonance magnétique]] ekwosufedgkkh2qbsqavwvmsr8y14h2